Um teorema de Zhender

Nesse trabalho, estudaremos o comportamento genérico dos difeomorfismos simpléticos no plano em torno de um ponto fixo elíptico. Nossa abordagem utiliza a forma normal de Birkhoff para garantir a existência de órbitas periódicas hiperbólicas e elípticas em cada vizinhança do ponto fixo elíptico e será mostrado que o conjunto dos difeomorfismos simpléticos analíticos reais, com ponto fixo elíptico no zero e que possuem órbitas elípticas e hiperbólicas em toda vizinhança do zero é um subconjunto residual. Desenvolveremos a teoria de variedades invariantes locais, e obtemos uma representação das variedades invariantes como gráfico de funções. Assim, será possível garantir a proximidade das variedades estável e instável de dois pontos hiperbólicos da mesma órbita. Finalmente, usando que o difeomorfismo preserva área demonstraremos que as variedades estável e instável de fato possuem ponto de interseção, obtendo assim, os pontos homoclínicos. A principal referência é o artigo do Edward Zehnder “Pontos homoclínicos perto de pontos fixos elípticos”.